Propiedades de las potencias
Como vimos en Potencias, una potencia es una expresión de la forma:
En esta entrada, veremos propiedades de las potencias:
Producto de potencias de igual base
Veamos por que ocurre esto:
El producto de dos potencias con la misma base y distinto exponente es una potencia de igual base y de exponente igual a la suma de los exponentes de las dos potencias. Veamos un ejemplo:
Potencia de un producto
La explicación se debe a que cuando elevamos un número a un exponente (ya sea n o cualquiera), cada factor de ese número estará elevado a ese exponente. Veamos por qué:
Intentemos interiorizar esto con un ejemplo:
Potencia de una potencia
Veamos por qué y luego un ejemplo:
Veamos un ejemplo numérico:
División de potencias de igual base
La explicación es parecida al producto de potencias con la misma base:
Esto ocurre porque m (de los) factores del numerador se ven anulados por los m factores del denominador.
Veamos un ejemplo:
Potencia de un cociente
Veamos por qué:
Desarrollando obtenemos la expresión que se expuso al principio. Veamos un ejemplo:
Potencias de exponente 0
Aunque una potencia de un número elevado a cero no tiene sentido de por sí (un factor que se repite 0 veces no tiene sentido lógico), sí es posible que nos encontremos con la expresión.
Para obtener el valor de una potencia de exponente 0, partimos de que un número cualquiera dividido entre sí mismo es la unidad. Por otra parte, si tenemos en cuenta el cociente de potencias de igual base, tenemos:
En este caso, 1 es igual al cociente de dos potencias de igual base e igual exponente (puesto que el número en el numerador y el denominador es el mismo).
Un caso de especial importancia es el de 0 elevado a cero. Aunque dependiendo de los libros de texto podemos encontrar que esta expresión o es igual a 1 o igual a una indeterminación, en esta entrada estableceremos:
Sin más ambigüedad, cualquier número elevado a cero es uno.
Potencias de números negativos
Veamos la potencia de un número negativo:
Consideramos que a es positivo, por lo que si anteponemos un signo negativo a a, entonces (-a) es negativo. Siguiendo el criterio de signos:
- (-)·(-)=(+) ; por tanto, si tenemos que n es par el resultado será positivo.
- (-)·(-)·(-)=(-) ; por tanto, si tenemos que n es impar el resultado será negativo.
Veamos un ejemplo:
