El mínimo común múltiplo entre dos o más números se define como el menor de los múltiplos comunes (aquellos que son múltiplos de dos o más números) de dichos números. Sin embargo, como todo conocimiento teórico es estéril sin su aplicación práctica, vamos a proceder a visualizar algunos ejemplos.

Ejemplo 1: Hallar el m.c.m (mínimo común múltiplo) de 2 y 3.

Para ello, en primer lugar, hallaremos los múltiplos de ambos números.

Múltiplos de 2: {2,4,6,8,10,12,...}

Múltiplos de 3: {3,6,9,12,15,...}

Ahora buscamos el múltiplo común a 2 y 3 que sea menor. Como podemos ver, el múltiplo que estamos buscando es 6.

Solución: el m.c.m de 2 y 3 es 6.

Pudiera el lector pensar que para obtener el m.c.m de dos números bastaría con multiplicar dichos números. Sin embargo, esto sólo ocurre cuando ninguno de los dos números tenga un factor común. Veamos ejemplos.

Ejemplo 2: Hallar el m.c.m de 3 y 6.

Múltiplos de 3: {3,6,9,12,...}

Múltiplos de 6: {6,12,18,...}

Como vemos, en este caso, al haber un factor común (que es 3), el m.c.m de 3 y 6 (en este ejemplo no será el producto de ambos números debido al factor común) es 6.

Solución: el m.c.m de 3 y 6 es 6.

Ejemplo 3: Hallar el m.c.m de 6 y 9.

Múltiplos de 6: {6,12,18,24,30,...}

Múltiplos de 9: {9,18,27,36,...}

En este otro ejemplo, como 6 y 9 tienen un factor común (que es 3), el m.c.m no será tampoco el producto de ambos números; en este caso, como vemos, será 18.

Solución: el m.c.m de 6 y 9 es 18.

Hasta ahora, hemos visto el m.c.m de dos números, sin embargo, en ocasiones, nos pueden pedir el m.c.m de más de dos números. Veamos ejemplos.

Ejemplo 4: hallar el m.c.m de 4, 5 y 6.

Múltiplos de 4: {4,8,12,16,20,24,28,32,36,40,44,48,52,56,60,...}

Múltiplos de 5: {5,10,15,20,25,30,35,40,45,50,55,60,...}

Múltiplos de 6: {6,12,18,24,30,36,42,48,54,60,...}

Como vemos el menor de los múltiplos comunes es 60.

Solución: el m.c.m de 4, 5 y 6 es 60.

En este último caso, desde el punto de vista práctica, es contraproducente escribir todos los múltiplos de los números que estamos estudiando hasta encontrar el común a todos ellos, pues esto supondría una gran pérdida de tiempo. Por dicho motivo, para hallar el m.c.m de dos o más números podemos realizar otro procedimiento que nos llevará a la misma solución:

1. Factorizamos (es decir, dividimos entre los divisores que sean números primos de cada número, o sea, los divisores que sean divisibles entre sí mismos y la unidad) los números que vamos a estudiar.

2. Para cada número, escogemos los factores comunes y no comunes con el mayor exponente.

3. Realizamos el producto de dichos factores.

Veámoslo con el ejemplo anterior.

Ejemplo 4 bis: hallar el m.c.m de 4, 5 y 6.

En primer lugar, siguiendo el procedimiento indicado factorizamos 4, 5 y 6:

Una vez tenemos factorizados los números, tenemos que:

Como debemos elegir los factores comunes y no comunes con el mayor exponente, en primer lugar, escogeremos los factores no comunes. En este caso, estos son 3 y 5. En cuanto a los factores comunes, seleccionaremos aquel que tenga mayor exponente; en este caso es 2 elevado al cuadrado. Con todo esto, calculamos el m.c.m de 4, 5 y 6, que será el producto de los factores previamente indicados:

Hemos llegado por tanto al mismo resultado que mediante el procedimiento empleado anteriormente para el mismo problema.

Ejemplo 5: Hallar el m.c.m de 7, 12, 14.

Factorizamos 7, 12 y 14:

Por tanto, una vez factorizados los números, tenemos:

A continuación seleccionamos los factores comunes y no comunes con mayor exponente. Dichos factores comunes serán, en este caso, 7 y 2 elevado al cuadrado, mientras que el factor no común será 3. Con ello, calculamos el m.c.m de 7, 12 y 14.

Solución: el m.c.m de 7, 12 y 14 es 84.

Abajo está el documento en el que está el test de autoevaluación resuelto disponible para descarga.